На рисунке изображен график функции y=f(x) и отмечены точки -2, 1, 3, 4. В какой из этих точек значение производной наибольшее? В ответе укажите эту точку.
Решение: Значение производной в точке касания равно угловому коэффициенту касательной, который в свою очередь равен тангенсу угла наклона данной касательной к оси абсцисс.
f/(x0) = k = tga
Я постаралась и построила касательную в каждой из четырех заданных точек.
В точке х=1 касательная параллельна оси Ох, значит, значение производной f/(1) =0.
В точке х=4 касательная составляет с положительным направлением оси абсцисс тупой угол 2. Значит, f/(4) <0, отрицательно.
В точке х=3 касательная составляет с положительным направлением оси абсцисс тупой угол 3. Значит, f/(3) <0, отрицательно.
В точке х=-2 касательная составляет с положительным направлением оси абсцисс острый угол 1. Значит, f/(-2) >0, положительно. Поэтому, из данных четырех точек именно в точке -2 производная будет иметь наибольшее значение. Ответ: -2.
В следующих заданиях все касательные я рисовать не буду.
2.
На рисунке изображен график функции y=f(x) и отмечены точки -2, -1, 1, 3. В какой из этих точек значение производной наибольшее? В ответе укажите эту точку.
Решение: Я построила касательные в двух из четырех заданных точек. Т.к. в точках х=-1 и х= 1 функция убывает, а значит, значение производной будет отрицательно. И значение производной в данных точках не может быть наибольшим. По крайней мере, надо искать его среди положительных чисел.
Рассмотрим две другие точки.
В точке х=3 касательная составляет с положительным направлением оси абсцисс острый угол 1. Значит, f/(3) >0, положительно.
В точке х=-2 касательная составляет с положительным направлением оси абсцисс острый угол 2. Значит, f/(-2) >0, положительно.
Какое же из этих значений будет больше?
Сравним углы. Очевидно, что угол 2 больше угла 1.
Значит, tg 2 больше tg 1.
Тогда f/(-2) > f/(3)
Ответ: -2.
3
На рисунке изображен график функции y=f(x) и отмечены точки -2, -1, 2, 4. В какой из этих точек значение производной наибольшее? В ответе укажите эту точку.
Решение: Я построила касательные в двух из четырех заданных точек. Т.к. в точках х=-1 и х= 4 функция убывает, а значит, значение производной будет отрицательно. И значение производной в данных точках не может быть наибольшим.
Рассмотрим две другие точки.
В точке х=2 касательная составляет с положительным направлением оси абсцисс острый угол 1. Значит, f/(2) >0, положительно.
В точке х=-2 касательная составляет с положительным направлением оси абсцисс острый угол 2. Значит, f/(-2) >0, положительно.
Какое же из этих значений будет больше?
Сравним углы. Очевидно, что угол 2 меньше угла 1.
Значит, tg 2 меньше tg 1.
Тогда f/(-2) < f/(2)
Ответ: 2.
4.
На рисунке изображен график функции y=f(x) и отмечены точки -2, -1, 1, 2. В какой из этих точек значение производной наибольшее? В ответе укажите эту точку.
Решение: Я построила касательные в двух из четырех заданных точек. Т.к. в точках х=-1 и х= 1 функция убывает, а значит, значение производной будет отрицательно. И значение производной в данных точках не может быть наибольшим.
Рассмотрим две другие точки.
В точке х=2 касательная составляет с положительным направлением оси абсцисс острый угол 1. Значит, f/( (2) >0, положительно.
В точке х=-2 касательная составляет с положительным направлением оси абсцисс острый угол 2. Значит, f/( (-2) >0, положительно.
Какое же из этих значений будет больше?
Сравним углы. Очевидно, что угол 2 больше угла 1.
Значит, tg 2 больше tg 1.
Тогда f/( (-2) > f/( (2)
Ответ: -2.
5.
На рисунке изображен график функции y=f(x) и отмечены точки -2, -1, 1, 2. В какой из этих точек значение производной наибольшее? В ответе укажите эту точку.
Решение: Я построила касательные в двух из четырех заданных точек. Т.к. в точках х=-2 и х= 1 функция убывает, а значит, значение производной будет отрицательно. И значение производной в данных точках не может быть наибольшим.
Рассмотрим две другие точки.
В точке х=2 касательная составляет с положительным направлением оси абсцисс острый угол 1. Значит, f/(2) >0, положительно.
В точке х=-1 касательная составляет с положительным направлением оси абсцисс острый угол 2. Значит, f/(-2) >0, положительно.
Какое же из этих значений будет больше?
Сравним углы. Очевидно, что угол 1 больше угла 2.
Значит, tg 1 больше tg 2.
Тогда f/(2) > f/(-1)
Ответ: 2.
6.
На рисунке изображен график функции y=f(x) и отмечены точки -2, -1, 1, 2. В какой из этих точек значение производной наибольшее? В ответе укажите эту точку.
Решение: Я построила касательные в двух из четырех заданных точек. Т.к. в точках х=-1 и х= 1 функция убывает, а значит, значение производной будет отрицательно. И значение производной в данных точках не может быть наибольшим.
Рассмотрим две другие точки.
В точке х=2 касательная составляет с положительным направлением оси абсцисс острый угол 1. Значит, f/ (2) >0, положительно.
В точке х=-2 касательная составляет с положительным направлением оси абсцисс острый угол 2. Значит, f/ (-2) >0, положительно.
Какое же из этих значений будет больше?
Сравним углы. Очевидно, что угол 2 больше угла 1.
Значит, tg 2 больше tg 1.
Тогда f/ (-2) > f/ (2)
Ответ: -2.
7.
На рисунке изображен график функции y=f(x) и отмечены точки -2, -1, 1, 4. В какой из этих точек значение производной наименьшее? В ответе укажите эту точку.
Решение: Я построила касательные в двух из четырех заданных точек. Т.к. в точках х=-2 и х= 1 функция возрастает, а значит, значение производной будет положительно. И значение производной в данных точках не может быть наименьшим.
Рассмотрим две другие точки.
В точке х=4 касательная составляет с положительным направлением оси абсцисс тупой угол 1. Значит, f/ (4) <0, отрицательно.
В точке х=-1 касательная составляет с положительным направлением оси абсцисс тупой угол 2. Значит, f/ (-1) <0, отрицательно.
Какое же из этих значений будет меньшим?
Сравним углы. Очевидно, что угол 2 больше угла 1.
Значит, tg 2 больше tg 1.
Тогда f/ (-1) > f/ (4). Тангенс в точке х=4 наименьший.
Ответ: 4.
8.
На рисунке изображен график функции y=f(x) и отмечены точки -1, 1, 2, 4. В какой из этих точек значение производной наименьшее? В ответе укажите эту точку.
Решение: Я построила касательные в двух из четырех заданных точек. Т.к. в точках х=-1 и х= 4 функция возрастает, а значит, значение производной будет положительно. И значение производной в данных точках не может быть наименьшим.
Рассмотрим две другие точки.
В точке х=2 касательная составляет с положительным направлением оси абсцисс тупой угол 1. Значит, f/ (2) <0, отрицательно.
В точке х=1 касательная составляет с положительным направлением оси абсцисс тупой угол 2. Значит, f/ (1) <0, отрицательно.
Какое же из этих значений будет меньшим?
Сравним углы. Очевидно, что угол 1 больше угла 2.
Значит, tg 1 больше tg 2.
Тогда f/ (2) > f/ (1). Тангенс в точке х=1 наименьший.
Ответ: 1.
9.
На рисунке изображен график функции y=f(x) и отмечены точки -1, 1, 3, 4. В какой из этих точек значение производной наименьшее? В ответе укажите эту точку.
Решение: Я построила касательные в двух из четырех заданных точек. Т.к. в точках х=-1 и х= 1 функция возрастает, а значит, значение производной будет положительно. И значение производной в данных точках не может быть наименьшим.
Рассмотрим две другие точки.
В точке х=3 касательная составляет с положительным направлением оси абсцисс тупой угол 1. Значит, f/ (3) <0, отрицательно.
В точке х=4 касательная составляет с положительным направлением оси абсцисс тупой угол 2. Значит, f/ (4) <0, отрицательно.
Какое же из этих значений будет меньшим?
Сравним углы. Очевидно, что угол 2 больше угла 1.
Значит, tg 2 больше tg 1.
Тогда f/ (1) > f/ (3). Тангенс в точке х=3 наименьший.
Ответ: 3.
10.
На рисунке изображен график функции y=f(x) и отмечены точки -2, -1, 1, 3. В какой из этих точек значение производной наименьшее? В ответе укажите эту точку.
Решение: Я построила касательные в двух из четырех заданных точек. Т.к. в точке х=-2 функция возрастает, а значит, значение производной будет положительно. В точке х=3 касательная, пожалуй, параллельна оси Ох, значит, f/ (3) =0. А наименьшее значение надо искать среди отрицательных значений.
Рассмотрим две другие точки, в которых функция убывает.
В точке х=1 касательная составляет с положительным направлением оси абсцисс тупой угол 1. Значит, f/ (1) <0, отрицательно.
В точке х=-1 касательная составляет с положительным направлением оси абсцисс тупой угол 2. Значит, f/ (-1) <0, отрицательно.
Какое же из этих значений будет меньшим?
Сравним углы. Очевидно, что угол 2 больше угла 1.
Значит, tg 2 больше tg 1.
Тогда f/ (-1) > f/ (1). Тангенс в точке х=1 наименьший.
Ответ: 1.
11.
На рисунке изображен график функции y=f(x) и отмечены точки -2, -1, 3, 4. В какой из этих точек значение производной наименьшее? В ответе укажите эту точку.
Решение: Я построила касательные в двух из четырех заданных точек. Т.к. в точке х=-1 функция возрастает, а значит, значение производной будет положительно. В точке х=-2 касательная, пожалуй, параллельна оси Ох, значит, f/ (-2) =0. А наименьшее значение надо искать среди отрицательных значений.
Рассмотрим две другие точки, в которых функция убывает.
В точке х=4 касательная составляет с положительным направлением оси абсцисс тупой угол 1. Значит, f/ (4) <0, отрицательно.
В точке х=3 касательная составляет с положительным направлением оси абсцисс тупой угол 2. Значит, f/ (3) <0, отрицательно.
Какое же из этих значений будет меньшим?
Сравним углы. Очевидно, что угол 2 больше угла 1.
Значит, tg 2 больше tg 1.
Тогда f/ (3) > f/ (4). Тангенс в точке х=4 наименьший.
Ответ: 4.
12.
На рисунке изображен график функции y=f(x) и отмечены точки -2, 1, 2, 3. В какой из этих точек значение производной наименьшее? В ответе укажите эту точку.
Решение: Я построила касательные в двух из четырех заданных точек. Т.к. в точке х=3 функция возрастает, а значит, значение производной будет положительно. В точке х=2 касательная, пожалуй, параллельна оси Ох, значит, f/ (2) =0. А наименьшее значение надо искать среди отрицательных значений.
Рассмотрим две другие точки, в которых функция убывает.
В точке х=1 касательная составляет с положительным направлением оси абсцисс тупой угол 1. Значит, f/ (1) <0, отрицательно.
В точке х=-2 касательная составляет с положительным направлением оси абсцисс тупой угол 2. Значит, f/ (-2) <0, отрицательно.
Какое же из этих значений будет меньшим?
Сравним углы. Очевидно, что угол 2 больше угла 1.
Значит, tg 2 больше tg 1.
Тогда f/ (-2) > f/ (1). Тангенс в точке х=1 наименьший.
Ответ: 1.
