Первообразная. Нахождение площади криволинейной трапеции.
1.
На рисунке изображён график функции y=F(x) — одной из первообразных некоторой функции f(x), определённой на интервале (-3; 5). Пользуясь рисунком, определите количество решений уравнения f(x) = 0 на отрезке [-2; 4]
Решение: По определению первообразной справедливо равенство f(x)=F'(x). Т.е. перед нами график функции, а производная ее равна 0 в точках экстремума.
Следовательно, решениями уравнения f(x)=0 являются точки экстремумов изображенной на рисунке функции F(x). Из них на отрезке [−2;4] лежат 10 точек. Таким образом, на отрезке [−2;4] уравнение f(x) = 0 имеет 10 решений.
2.
На рисунке изображён график функции y=F(x) — одной из первообразных некоторой функции f(x), определённой на интервале (-2; 6). Пользуясь рисунком, определите количество решений уравнения f(x) = 0 на отрезке [-1; 5].
Решение: По определению первообразной справедливо равенство f(x)=F'(x). Т.е. перед нами график функции, а производная ее равна 0 в точках экстремума.
Следовательно, решениями уравнения f(x)=0 являются точки экстремумов изображенной на рисунке функции F(x). Из них на отрезке [-1; 5] лежат 10 точек. Таким образом, на отрезке [-1; 5] уравнение f(x) = 0 имеет 10 решений.
3
На рисунке изображён график функции y=f(x). Пользуясь рисунком, вычислите F(8) – F(2), где F(x) — одна из первообразных функции f(x).
Решение: S = F(a) – F(b), a>b
Разность значений первообразной в точках 8 и 2 равна площади выделенной на рисунке трапеции ABCD. Поэтому S = F(8) – F(2) = (1+6) * 2 = 7
4.
На рисунке изображён график функции y=f(x). Пользуясь рисунком, вычислите F6) – F(2), где F(x) — одна из первообразных функции f(x).
Решение: S = F(a) – F(b), a>b
Разность значений первообразной в точках 8 и 2 равна площади выделенной на рисунке трапеции ABCD. Поэтому S = F(6) – F(2) = (1+4) * 2 = 5
5.
На рисунке изображён график некоторой функции y=f(x). Функция F(x) = x3 + 30x2 + 302x – — одна из первообразных функции f(x). Найдите площадь закрашенной фигуры.
Решение: 1 способ.
S = F(a) – F(b), a>b
Площадь закрашенной фигуры равна F(-9) – F(-11).
2 способ.
Найдем подинтегральную функцию f(x), если F(x) = x3 + 30x2 + 302x –
По определению первообразной справедливо равенство f(x)=F'(x).
Тогда, f(x)= 3х2 + 60х + 302
Если мы сразу подставим эту функцию и будем вычислять интеграл, то получим такие же громоздкие вычисления, как и в 1 способе:
получили пример, как в 1 способе… Поступим иначе. Выделим полный квадрат двучлена для функции: f(x)= 3х2 + 60х + 302 = 3(х2 + 20х + 100) – 300 + 302 = 3(х+10)2 + 2. Вычисления интеграла будут проще:
6.
На рисунке изображён график некоторой функции y=f(x).
Функция F(x) = x3 + 20x2 + 201x – — одна из первообразных функции f(x). Найдите площадь закрашенной фигуры.
Решение:
Найдем подинтегральную функцию f(x), если F(x) = x3 + 20x2 + 201x –
По определению первообразной справедливо равенство f(x)=F'(x).
Тогда, f(x)= 2х2 + 40х + 201
Если мы сразу подставим эту функцию и будем вычислять интеграл, то получим громоздкие вычисления.
Поступим иначе. Выделим полный квадрат двучлена для функции: f(x)= 2х2 + 40х + 201= 2(х2 + 20х + 100) – 200 + 201 = 2(х+10)2 + 1. Вычисления интеграла будут проще:
7.
На рисунке изображён график некоторой функции y=f(x).
Функция F(x) = – x3 – 27x2 – 240x – 8 — одна из первообразных функции f(x). Найдите площадь закрашенной фигуры.
Решение: Найдем подинтегральную функцию f(x), если F(x) = – x3 – 27x2 – 240x – 8
По определению первообразной справедливо равенство f(x)=F'(x).
Тогда, f(x)= – 3х2 – 54х – 240
Если мы сразу подставим эту функцию и будем вычислять интеграл, то получим громоздкие вычисления.
Поступим иначе. Выделим полный квадрат двучлена для функции: f(x)= – 3х2 – 54х – 240 = -3(х2 + 18х + 81) + 243 – 240= -3(х+9)2 + 3. Вычисления интеграла будут проще: